Дифференциальное уравнение движения поезда имеет вид

Дифференциальное уравнение движения поезда имеет вид

Приводится уравнение движения поезда и анализ существующих численных методов его решения , свидетельствующий о необходимости разработки новых численных методов решения для практической реализации на ЭВМ и в работе специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Аблялимов Олег Сергеевич

EQUATION OF TRAIN MOVEMENT AND SOME METHODS OF ITS SOLUTION

An equation of train motion and an analysis of existing numerical methods for its solution are given, indicating the need to develop new numerical solution methods for practical implementation on a computer and in the work of specialists of the locomotive complex of railways.

Текст научной работы на тему «Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения»

сентябрь, 2020 г.

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА И НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ЕГО РЕШЕНИЯ

Аблялимов Олег Сергеевич

канд. техн. наук, старший научный сотрудник, и.о. профессора кафедры «Локомотивы и локомотивное хозяйство» Ташкентский государственный транспортный университет,

Узбекистан, г. Ташкент E-mail: o. ablyalimov@gmail. com

EQUATION OF TRAIN MOVEMENT AND SOME METHODS OF ITS SOLUTION

Doctor ofphilosophy, chief worker, acting professor of the chair «Loсomotives and locomotive economy»

Tashkent state transpоrt university, Uzbekistan, Tashkent

Приводится уравнение движения поезда и анализ существующих численных методов его решения, свидетельствующий о необходимости разработки новых численных методов решения для практической реализации на ЭВМ и в работе специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

An equation of train motion and an analysis of existing numerical methods for its solution are given, indicating the need to develop new numerical solution methods for practical implementation on a computer and in the work of specialists of the locomotive complex of railways.

Ключевые слова: уравнение, метод, решение, поезд, движение, режим, сопротивление, задача, переменная, шаг, производная, полином, ряд.

Keywords: equation, method, solution, train, motion, mode, resistance, task, variable, step, derivative, polynomial, series.

Перемещение поезда на участке описывается из-

вестным [1,4] уравнением движения поезда — =

2, которое связывает ускорение поезда — с равнодействующей силой и, -Н (—). Разделив обе части на V получим

dV _ (<p(V) _ dt V V

где и = — удельная равнодействующая сила

На основании уравнения (1) решаются все задачи, связанные с расчётами перевозочной работы локомотивов на участках, в связи с чем, точностью решения этого уравнения во многом определяется достоверность значений показателей эксплуатационной, энергетической и экономической эффективности использования работы локомотивов.

При известном подъёме (уклоне) %о величина удельной равнодействующей силы при рабочем ходе

u = fk(V) — w0(V) + ik (2)

при холостом ходе

и при торможении

где = р + , — (—) — зависимость удельной

касательной силы тяги локомотива от скорости для той или иной позиции контроллера машиниста, при заданном весе поезда Р0 + Q, т. Зависимости полной величины касательной силы тяги Рк (7) приводится в ПТР [6].

w0(V) — зависимость удельного основного сопротивления движению поезда от скорости. Находится с учётом основного сопротивления локомотива w0 (7) и состава w0 (V), которые берут на основании ПТР [6].

Библиографическое описание: Аблялимов О.С. Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 9(78). URL:

Ьт(У) — зависимость удельной тормозной силы от скорости для существующих тормозных устройств.

Зависимости Рк(У),ж0(V), (V), и Ьт(У) для расчётов на ЭВМ обычно приводятся в полиномном виде, аппроксимирующие коэффициенты которых определяются расчётами на ЭВМ по соответствующим программам [3].

Зависимость и = (р(^) с определённой степенью точности может быть выражена, например, для рабочего хода грузового поезда

где — коэффициент аппроксимирую-

щего полинома зависимости и = ф(У).

Для холостого хода зависимость и = (р(^)

, А, Б и В — соответствующие постоянные коэффициенты.

Используя зависимости (2), (3) и (4) при интегрировании выражения (1) по переменной "путь" в определённых пределах получим

При интегрировании по переменной "скорости"

Возможно также интегрирование (1) по переменной "время". Точное решение (1) невозможно в виду сложности зависимости и = (р (V). На ЭЦВМ (электронно — цифровая вычислительная машина) широко используется численный метод Эйлера [2,5], реже Рунге — Кутта. В программе ЦНИИ МПС [3] применено разложение функции V = /(5) в ряд Тейлора с использованием первых трёх членов. Известны разные модификации указанных методов и ряд дополнительных [2, 5]. При ручном счёте чаще всего пользуются графическим методом МПС [1,2], но расчёты требуют большой затраты времени.

Приближённое решение заключается в определение на каждом шаге интегрирования конечного значения скорости Уп+1 = Уп + &Уп.

При использовании численных методов практически высокую точность решения можно достичь,

если проводить расчёты с использованием минимально возможного шага интегрирования, но при этом резко возрастает затрата машинного времени, а следовательно и стоимость расчётов.

По методу Эйлера приращение скорости на выбранном шаге И.п будет

где Д10 — первая производная скорости по пути для известных начальных условий, 1/ч.

Правильность определения скорости на шаге интегрирования оказывает влияние и на точность определения всех последующих величин. Так, применение метода Эйлера при ограничении приращения скорости ап < 5 — 10 км/ч даёт отклонения от практически точных значений, полученных при ап = 0,5 — 1,0 км/ч, времени хода поезда по перегонам до 8 — 10 процентов, расходов энергии до 3 — 4 процентов и денежных и перевозочных затрат до 1 -3 процентов.

Указанные отклонения возрастают при движении поезда с остановками на промежуточных раздельных пунктах и участковых станциях. Погрешность метода Эйлера на шаге имеет порядок И2.

По методу Рунге — Кутта [2,5] величина приращения скорости на шаге интегрирования может определяться выражением

где К0 = $(Уп)Ьп — приращение скорости на шаге по первой производной для начальных условий, км/ч; к0

К® = $(Уп + -^Ьп- приращение скорости по первой производной для промежуточной скорости, км/ч;

= §(Уп + ^-)Ьп — тоже, для второй промежуточной скорости, км/ч;

К0 = $(Уп + К0)Ьп — тоже, для третьей промежуточной скорости, км/ч.

Метод Рунге — Кутта в большинстве случаев даёт хорошие результаты, однако в области выхода на равномерную скорость, процесс счёта нарушается и необходимы повторные пересчёты на уменьшенном шаге. Метод требует значительной затраты машинного времени. Метод имеет погрешность порядка Ь3 — Ь5.

При разложении функции V = /(5) в ряд Тейлора с использованием первых трёх членов получим

первая производная скорости по

пути для начальных условий, 1/ч;

Уп = 3 п <р(Уп) — вторая производ-

ная скорости по пути для начальных условий, 1/кмч;

ф'(Уп)у — первая производная равнодействующей силы по скорости для начальных условий, кгч/ткм.

Уточнение изменения интервала скорости по второй производной составляет не более 0,5 км/ч при ап < 5 км/ч. В результате ошибки на шаге интегрирования по сравнению с методом Эйлера будут уменьшаться лишь на 10 — 15 процентов. Этот метод требует нахождения производной ф'(Уп)у, что связано с увеличением затраты машинного времени.

Читайте также:  Поезд иваново анапа 2021 маршрут

На втором этапе исследований кратко рассмотрим некоторые другие численные методы решения дифференциальных уравнений, которые в виду их сложности, решить аналитическими методами невозможно.

Имеется обыкновенное дифференциальное уравнение у' = $(х,у) при известных начальных условиях хп и уп необходимо найти значения хп+1 и уп+1, на каждом шаге интегрирования.

Кроме вышеуказанных, наиболее известны следующие численные методы решения дифференциальных уравнений:

а) метод последовательных приближений (метод итераций или метод Пикара [2]. Это один из дающих высокую точность методов, но он является весьма трудоёмким и не во всех случаях применимым;

б) метод А. Н. Крылова [2,5] является дальнейшим развитием метода последовательных приближений. Почти все приближённые методы включают два этапа: нахождение начального отрезка искомого решения, то есть начало решения или вход в таблицу; вычисление дальнейших значений на основе найденных величин, то есть продолжение таблицы.

А. Н. Крылов предложил построение начального отрезка методом последовательных сближений.

в) метод Дж. Адамса [7], который в некотором отношении сходен с методом последовательных приближений, но отличается тем, что решение начинается с вычисления первых четырех значений функции, так называемой начальный участок, которые определяется по начальным условиям (хп,уп), используя какой — ннибудь численный метод (Рунге -Кутта, посредством разложения в ряд Тейлора и т.д.). Метод также трудоёмкий и применяется не для всех случаев решения дифференциальных уравнений [2];

г) метод Милна [7] используется для первых четырёх точек значения у и у', найденные каким — либо методом, наиболее подходящим для данного вида уравнения (метод Адамса, Рунге-Кутта и т.д.). Затем, используя специальные формулы Милна, найденные

путём интегрирования формулы Ньютона, определяют искомые значения у с определённой точностью (погрешность метода порядка к4). Программирование метода довольно сложно и расчёты весьма трудоёмки.

д) модифицированные варианты метода Эйлера (усовершенствованный метод ломанных, усовершенствованный метод Эйлера — Коши [2,5,7].

При использовании усовершенствованного метода ломанных, вначале вычисляют промежуточные к к ' значения х 1= хп+- и у 1 = уп +-уп, затем я+2 2 2

находят значения направлений поля интегральных кривых в средней точке (*и+1, Уп+1), то есть

В результате получают соответствующие уточнение решения, но это требует дополнительной затраты времени.

В усовершенствованном методе Эйлера — Коши после определения уп+± = уп+ у'к находят новое направление поля интегральных кривых уп+1 = Уп+1), затем приближение полагают

Ещё более точные результаты могут быть получены, применяя итерационную обработку [2,5,7], однако это усложняет процесс решения.

В большинстве существующих программ тяговых расчётов использовался метод Эйлера [3 и другие], что приводит к ряду недостатков, ухудшающих результаты счёта [8,9] и удорожая их.

Таким образом, рассмотренные (приведённые) автором недостатки решения дифференциального уравнения движения поезда существующими методами заставляют продолжать исследования по дальнейшему совершенствованию, имеющихся численных методов решения, с целью разработки удобных методов для использования при расчётах на ЭВМ и в практике работы специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

1. Аблялимов О. С. Основы управления локомотивов [Текст] / О. С. Аблялимов, Э. С. Ушаков // Учебник для профессиональных колледжей железнодорожного транспорта. — Ташкент: «Бауг», 2012. — 392 с.

2. Березин И. С. Методы вычислений [Текст] / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — Изд. 2-е. — М.: ГИФМЛ, 1962. -Т. 1. — 464 с.

3. Быков В. Н. Производство тяговых расчётов и определение эксплуатационных расходов по передвижению поездов [Текст] / В. Н. Быков К. М. Берестовенко // Тр. ВНИИТС, вып. 51 / Всероссийский науч — иссл. ин-т твёрдых сплавов. — Москва, 1964. — С. 59 — 67.

4. Деев В. В. Тяга поездов [Текст] / В. В. Деев, Г. А. Ильин, Г. С. Афонин // Учебное пособие для вузов. — М.: Транспорт, 1987. — 264 с.

5. Демидович Б. П. Численные методы анализа [Текст] / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова // Учебное пособие. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1967. — 368 с.

6. Правила тяговых расчётов для поездной работы [Текст] / Всесоюзный научно — исследовательский институт железнодорожного транспорта. — М.: Транспорт, 1985. — 287 с.

7. Скарборо Д. Численные методы математического анализа (перевод с англ.) [Текст] / Д. Скарборо. — М.: ГИФМЛ, 1934. — 437 с.

8. Толкачёв А. В. О методах решения уравнения движения поезда при расчётах на ЭЦВМ [Текст] / А. В. Толкачёв // Тр. ТашИИТ, вып. 88 / Ташкентский ин-т. инж. ж-д трансп. — Ташкент, 1972. — С. 79 — 87.

9. Толкачёв А. В. О численном методе решения уравнения движения поезда [Текст] / А. В. Толкачёв // «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. — М.: Трансжелдориздат, 1972, № 7. — С. 53 — 59.

Источник



Уравнение движения поезда. Предпосылки и допущения к расчетной схеме, страница 2

Обозначив суммарную массу вращающихся колесных пар через mп, и выполнив подстановку, выражение (1) примет вид:

Тогда, с учетом обозначение выражение (2) можно записать:

Выражение (1 + γ) называется коэффициентом инерции вращающихся масс поезда.

Изменение кинетической энергии поезда на некотором перемещении его составит:

Согласно предположению (1), приведенному в п. 1.1 работа внутренних сил поезда равна нулю, и поэтому ее не будем учитывать. Тогда, согласно закону сохранения энергии изменение кинетической энергии равно работе сил на пройденном пути:

касательная сила тяги локомотива;

общее сопротивление движению поезда;

путь, пройденный поездом.

Выражение (Fk ‑ Wk ‑ BT) является равнодействующей силой, которую будем обозначать

Подставив выражение (3) в выражение (4), с учетом принятого обозначения получим:

Скорость движения поезда есть первая производная пройденного пути по времени:

Подставляя выражение (4) в выражение (3), и сокращая v получаем:

В тяговых расчетах принято использовать не силы как таковые, обозначаемые обычно прописными буквами латинского алфавита R, Fk, Wk, BT, а удельные значения сил, т.е. отнесенные к массе, которые обозначаются строчными буквами, соответственно, r, fk, wk, bT. Это сделано для упрощения расчетов. Кроме того, следует напомнить о различных системах единиц.

Если расчеты производятся в системе СИ, то масса измеряется в кг, расстояние – в м, время – в с, скорость в м/с, ускорение – в м/с 2 , сила – в Н. На транспорте применяется техническая система единиц, в которой масса поезда измеряется в т, время – в ч, скорость в км/ч, ускорение в км/ч 2 , сила в кГс (килограмм-силах).

Удельная равнодействующая сила в СИ будет равна:

а в технической системе, соответственно:

Выражение (8) примет вид:

Определим величину ξ в СИ и в технической системе.

Значения γ определены для всех типов подвижного состава, эксплуатирующегося на железных дорогах РФ, и приведены в Правилах тяговых расчетов [ ]. В тяговых расчетах при проектировании железных дорог для груженого поезда можно принято γ=0,06.

Источник

build-master

Характер движения поезда и изменения его скорости зависят от величины и направления равнодействующей сил. В свою очередь величина и направление равнодействующей могут меняться в зависимости от режима работы локомотива. Напомним, что принято различать режимы тяги, холостого хода или выбега и торможения.

Читайте также:  Мичуринск воронежский сочи поезд

Режим тяги соответствует движению локомотива с работающими тяговыми двигателями, обеспечивающими повышение скорости движения, сообщение поезду кинетической энергии и преодоление действия сил сопротивления. Равнодействующая сила в этом случае определяется разностью силы тяги и силы сопротивления: FK — W.

При холостом ходе, т. е. на выбеге, тяговые двигатели локомотива отключены, а движение поезда осуществляется под действием накопленной ранее кинетической энергии. Равнодействующая сила в данном случае определяется силой сопротивления движению со знаком минус: — W.

В режиме торможения, помимо силы сопротивления движению, действует тормозная сила. Равнодействующая в этом случае равна сумме сил сопротивления движению и тормозной, взятой со знаком минус: — (W + Вк).

Величина и направление равнодействующей силы определяют движение поезда. Если равнодействующая сила больше нуля и имеет то же направление, что и движение, она его ускоряет. При знаке минус равнодействующая сила меньше нуля, направлена против движения и замедляет его. Равнодействующая сила, равная нулю, соответствует равномерному движению поезда либо стоянке. Соответственно равнодействующую силу называют ускоряющей (F — W), либо замедляющей [- Ь>и-(W + B)].

Диаграмма ускоряющих и замедляющих сил. Для наглядного представления взаимозависимости сил, действующих на поезд, пользуются графическим изображением зависимости равнодействующей /к — w от скорости движения на прямом и горизонтальном пути. Это так называемая диаграмма ускоряющих и замедляющих сил. Она представляет собой три кривые, из которых первая fK- w относится к тяговому режиму, вторая wox — к движению на выбеге, третья 0,5ЬТ + + wox — к тормозному режиму. Пользуясь диаграммой, можно анализировать условия и характер движения поезда на различных элементах профиля пути. В качестве примера на рис. 9 дана диаграмма ускоряющих и замедляющих сил, построенная исходя из тяговой характеристики электровоза ВЛ80К массой 184 т (двигатель НБ-418К), сил основного сопротивления движению, тормозных сил для состава массой 3800 т, сформированного из четырехосных вагонов на подшипниках скольжения, со средней массой, приходящейся на ось, 17,5 т. Для построения диаграммы определяют значения ускоряющих и замедляющих сил по результатам расчета, приведенным в табл. 1 и 2.

Источник

Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Приводится уравнение движения поезда и анализ существующих численных методов его решения , свидетельствующий о необходимости разработки новых численных методов решения для практической реализации на ЭВМ и в работе специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Аблялимов Олег Сергеевич

EQUATION OF TRAIN MOVEMENT AND SOME METHODS OF ITS SOLUTION

An equation of train motion and an analysis of existing numerical methods for its solution are given, indicating the need to develop new numerical solution methods for practical implementation on a computer and in the work of specialists of the locomotive complex of railways.

Текст научной работы на тему «Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения»

сентябрь, 2020 г.

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА И НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ЕГО РЕШЕНИЯ

Аблялимов Олег Сергеевич

канд. техн. наук, старший научный сотрудник, и.о. профессора кафедры «Локомотивы и локомотивное хозяйство» Ташкентский государственный транспортный университет,

Узбекистан, г. Ташкент E-mail: o. ablyalimov@gmail. com

EQUATION OF TRAIN MOVEMENT AND SOME METHODS OF ITS SOLUTION

Doctor ofphilosophy, chief worker, acting professor of the chair «Loсomotives and locomotive economy»

Tashkent state transpоrt university, Uzbekistan, Tashkent

Приводится уравнение движения поезда и анализ существующих численных методов его решения, свидетельствующий о необходимости разработки новых численных методов решения для практической реализации на ЭВМ и в работе специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

An equation of train motion and an analysis of existing numerical methods for its solution are given, indicating the need to develop new numerical solution methods for practical implementation on a computer and in the work of specialists of the locomotive complex of railways.

Ключевые слова: уравнение, метод, решение, поезд, движение, режим, сопротивление, задача, переменная, шаг, производная, полином, ряд.

Keywords: equation, method, solution, train, motion, mode, resistance, task, variable, step, derivative, polynomial, series.

Перемещение поезда на участке описывается из-

вестным [1,4] уравнением движения поезда — =

2, которое связывает ускорение поезда — с равнодействующей силой и, -Н (—). Разделив обе части на V получим

dV _ (<p(V) _ dt V V

где и = — удельная равнодействующая сила

На основании уравнения (1) решаются все задачи, связанные с расчётами перевозочной работы локомотивов на участках, в связи с чем, точностью решения этого уравнения во многом определяется достоверность значений показателей эксплуатационной, энергетической и экономической эффективности использования работы локомотивов.

При известном подъёме (уклоне) %о величина удельной равнодействующей силы при рабочем ходе

u = fk(V) — w0(V) + ik (2)

при холостом ходе

и при торможении

где = р + , — (—) — зависимость удельной

касательной силы тяги локомотива от скорости для той или иной позиции контроллера машиниста, при заданном весе поезда Р0 + Q, т. Зависимости полной величины касательной силы тяги Рк (7) приводится в ПТР [6].

w0(V) — зависимость удельного основного сопротивления движению поезда от скорости. Находится с учётом основного сопротивления локомотива w0 (7) и состава w0 (V), которые берут на основании ПТР [6].

Библиографическое описание: Аблялимов О.С. Уравнение движения поезда и некоторые методы его решения // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 9(78). URL:

Ьт(У) — зависимость удельной тормозной силы от скорости для существующих тормозных устройств.

Зависимости Рк(У),ж0(V), (V), и Ьт(У) для расчётов на ЭВМ обычно приводятся в полиномном виде, аппроксимирующие коэффициенты которых определяются расчётами на ЭВМ по соответствующим программам [3].

Зависимость и = (р(^) с определённой степенью точности может быть выражена, например, для рабочего хода грузового поезда

где — коэффициент аппроксимирую-

щего полинома зависимости и = ф(У).

Для холостого хода зависимость и = (р(^)

, А, Б и В — соответствующие постоянные коэффициенты.

Используя зависимости (2), (3) и (4) при интегрировании выражения (1) по переменной "путь" в определённых пределах получим

При интегрировании по переменной "скорости"

Возможно также интегрирование (1) по переменной "время". Точное решение (1) невозможно в виду сложности зависимости и = (р (V). На ЭЦВМ (электронно — цифровая вычислительная машина) широко используется численный метод Эйлера [2,5], реже Рунге — Кутта. В программе ЦНИИ МПС [3] применено разложение функции V = /(5) в ряд Тейлора с использованием первых трёх членов. Известны разные модификации указанных методов и ряд дополнительных [2, 5]. При ручном счёте чаще всего пользуются графическим методом МПС [1,2], но расчёты требуют большой затраты времени.

Приближённое решение заключается в определение на каждом шаге интегрирования конечного значения скорости Уп+1 = Уп + &Уп.

При использовании численных методов практически высокую точность решения можно достичь,

если проводить расчёты с использованием минимально возможного шага интегрирования, но при этом резко возрастает затрата машинного времени, а следовательно и стоимость расчётов.

Читайте также:  Как строят вагоны поездов

По методу Эйлера приращение скорости на выбранном шаге И.п будет

где Д10 — первая производная скорости по пути для известных начальных условий, 1/ч.

Правильность определения скорости на шаге интегрирования оказывает влияние и на точность определения всех последующих величин. Так, применение метода Эйлера при ограничении приращения скорости ап < 5 — 10 км/ч даёт отклонения от практически точных значений, полученных при ап = 0,5 — 1,0 км/ч, времени хода поезда по перегонам до 8 — 10 процентов, расходов энергии до 3 — 4 процентов и денежных и перевозочных затрат до 1 -3 процентов.

Указанные отклонения возрастают при движении поезда с остановками на промежуточных раздельных пунктах и участковых станциях. Погрешность метода Эйлера на шаге имеет порядок И2.

По методу Рунге — Кутта [2,5] величина приращения скорости на шаге интегрирования может определяться выражением

где К0 = $(Уп)Ьп — приращение скорости на шаге по первой производной для начальных условий, км/ч; к0

К® = $(Уп + -^Ьп- приращение скорости по первой производной для промежуточной скорости, км/ч;

= §(Уп + ^-)Ьп — тоже, для второй промежуточной скорости, км/ч;

К0 = $(Уп + К0)Ьп — тоже, для третьей промежуточной скорости, км/ч.

Метод Рунге — Кутта в большинстве случаев даёт хорошие результаты, однако в области выхода на равномерную скорость, процесс счёта нарушается и необходимы повторные пересчёты на уменьшенном шаге. Метод требует значительной затраты машинного времени. Метод имеет погрешность порядка Ь3 — Ь5.

При разложении функции V = /(5) в ряд Тейлора с использованием первых трёх членов получим

первая производная скорости по

пути для начальных условий, 1/ч;

Уп = 3 п <р(Уп) — вторая производ-

ная скорости по пути для начальных условий, 1/кмч;

ф'(Уп)у — первая производная равнодействующей силы по скорости для начальных условий, кгч/ткм.

Уточнение изменения интервала скорости по второй производной составляет не более 0,5 км/ч при ап < 5 км/ч. В результате ошибки на шаге интегрирования по сравнению с методом Эйлера будут уменьшаться лишь на 10 — 15 процентов. Этот метод требует нахождения производной ф'(Уп)у, что связано с увеличением затраты машинного времени.

На втором этапе исследований кратко рассмотрим некоторые другие численные методы решения дифференциальных уравнений, которые в виду их сложности, решить аналитическими методами невозможно.

Имеется обыкновенное дифференциальное уравнение у' = $(х,у) при известных начальных условиях хп и уп необходимо найти значения хп+1 и уп+1, на каждом шаге интегрирования.

Кроме вышеуказанных, наиболее известны следующие численные методы решения дифференциальных уравнений:

а) метод последовательных приближений (метод итераций или метод Пикара [2]. Это один из дающих высокую точность методов, но он является весьма трудоёмким и не во всех случаях применимым;

б) метод А. Н. Крылова [2,5] является дальнейшим развитием метода последовательных приближений. Почти все приближённые методы включают два этапа: нахождение начального отрезка искомого решения, то есть начало решения или вход в таблицу; вычисление дальнейших значений на основе найденных величин, то есть продолжение таблицы.

А. Н. Крылов предложил построение начального отрезка методом последовательных сближений.

в) метод Дж. Адамса [7], который в некотором отношении сходен с методом последовательных приближений, но отличается тем, что решение начинается с вычисления первых четырех значений функции, так называемой начальный участок, которые определяется по начальным условиям (хп,уп), используя какой — ннибудь численный метод (Рунге -Кутта, посредством разложения в ряд Тейлора и т.д.). Метод также трудоёмкий и применяется не для всех случаев решения дифференциальных уравнений [2];

г) метод Милна [7] используется для первых четырёх точек значения у и у', найденные каким — либо методом, наиболее подходящим для данного вида уравнения (метод Адамса, Рунге-Кутта и т.д.). Затем, используя специальные формулы Милна, найденные

путём интегрирования формулы Ньютона, определяют искомые значения у с определённой точностью (погрешность метода порядка к4). Программирование метода довольно сложно и расчёты весьма трудоёмки.

д) модифицированные варианты метода Эйлера (усовершенствованный метод ломанных, усовершенствованный метод Эйлера — Коши [2,5,7].

При использовании усовершенствованного метода ломанных, вначале вычисляют промежуточные к к ' значения х 1= хп+- и у 1 = уп +-уп, затем я+2 2 2

находят значения направлений поля интегральных кривых в средней точке (*и+1, Уп+1), то есть

В результате получают соответствующие уточнение решения, но это требует дополнительной затраты времени.

В усовершенствованном методе Эйлера — Коши после определения уп+± = уп+ у'к находят новое направление поля интегральных кривых уп+1 = Уп+1), затем приближение полагают

Ещё более точные результаты могут быть получены, применяя итерационную обработку [2,5,7], однако это усложняет процесс решения.

В большинстве существующих программ тяговых расчётов использовался метод Эйлера [3 и другие], что приводит к ряду недостатков, ухудшающих результаты счёта [8,9] и удорожая их.

Таким образом, рассмотренные (приведённые) автором недостатки решения дифференциального уравнения движения поезда существующими методами заставляют продолжать исследования по дальнейшему совершенствованию, имеющихся численных методов решения, с целью разработки удобных методов для использования при расчётах на ЭВМ и в практике работы специалистов локомотивного комплекса железных дорог.

1. Аблялимов О. С. Основы управления локомотивов [Текст] / О. С. Аблялимов, Э. С. Ушаков // Учебник для профессиональных колледжей железнодорожного транспорта. — Ташкент: «Бауг», 2012. — 392 с.

2. Березин И. С. Методы вычислений [Текст] / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — Изд. 2-е. — М.: ГИФМЛ, 1962. -Т. 1. — 464 с.

3. Быков В. Н. Производство тяговых расчётов и определение эксплуатационных расходов по передвижению поездов [Текст] / В. Н. Быков К. М. Берестовенко // Тр. ВНИИТС, вып. 51 / Всероссийский науч — иссл. ин-т твёрдых сплавов. — Москва, 1964. — С. 59 — 67.

4. Деев В. В. Тяга поездов [Текст] / В. В. Деев, Г. А. Ильин, Г. С. Афонин // Учебное пособие для вузов. — М.: Транспорт, 1987. — 264 с.

5. Демидович Б. П. Численные методы анализа [Текст] / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова // Учебное пособие. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1967. — 368 с.

6. Правила тяговых расчётов для поездной работы [Текст] / Всесоюзный научно — исследовательский институт железнодорожного транспорта. — М.: Транспорт, 1985. — 287 с.

7. Скарборо Д. Численные методы математического анализа (перевод с англ.) [Текст] / Д. Скарборо. — М.: ГИФМЛ, 1934. — 437 с.

8. Толкачёв А. В. О методах решения уравнения движения поезда при расчётах на ЭЦВМ [Текст] / А. В. Толкачёв // Тр. ТашИИТ, вып. 88 / Ташкентский ин-т. инж. ж-д трансп. — Ташкент, 1972. — С. 79 — 87.

9. Толкачёв А. В. О численном методе решения уравнения движения поезда [Текст] / А. В. Толкачёв // «Вестник ВНИИЖТ» / Всесоюзный науч-иссл. ин-т. ж-д транспорта. — М.: Трансжелдориздат, 1972, № 7. — С. 53 — 59.

Источник